Wednesday, April 16, 2014

Σύνολα-Ιστορικά Παράδοξα-Παρανοήσεις



Κυκλοφόρησε πρόσφατα το βιβλίο των Graham & Kantor “Ονοματίζοντας το Άπειρο». Πρόκειται για ένα σύνθετο ιστορικό και επιστημολογικό κείμενο το οποίο αναλύει μια ερεθιστική συγκυρία: Στην Τσαρική Ρωσία διαμορφώνεται μια Μαθηματική Σχολή η οποία , εξαιτίας της συνάφειας της με το θεολογικό ρεύμα της «Λατρείας του Ονόματος», αφομοιώνει και εξελίσσει πρωτοποριακά την Θεωρία των Συνόλων όπως αυτή θεμελιώθηκε από τον G.Kantor.Το κείμενο είναι απολαυστικό καθώς αναφέρεται παράλληλα στις θεολογικές, μαθηματικές και πολιτικές διεργασίες κατά τον 20 αιώνα στην Τσαρική και Σοβιετική Ρωσία.

Το επιστημολογικό επίδικο του βιβλίου, το οποίο παραμένει περίτεχνα ανοικτό ,είναι αν η αποδοχή μιας θεολογικής θέσης διευκόλυνε σχεδόν επιτάχυνε μια μαθηματική φιλοσοφική κατεύθυνση, εν προκειμένω ,της θεωρίας συνόλων: Η «Λατρεία του Ονόματος» συμπυκνώνεται χοντρικά στην θέση ότι τα Ονόματα ταυτίζονται με  την Ουσία , επομένως η εκφώνηση αποτελεί μυστηριακή ταύτιση . Η προσευχή με την εκφώνηση του Θείου επιτελεί μια  μυστική  ταύτιση  η οποία ουσιαστικά ολοκληρώνει ένα λατρευτικό μυστήριο. Μια ομάδα μαθηματικών  (Εγκόρωφ,Λούζιν κλπ) που συνδέεται με αυτό το θεολογικό ρεύμα  ευρίσκεται σε πλεονεκτική θέση όταν αντιμετωπίζει την καινοτομία της Συνολοθεωρίας. Καθώς η Συνολοθεωρία εισάγει μια σειρά από καινοφανείς μαθηματικές οντότητες, τύπους και οικογένειες του απείρου, οι μαθηματικοί «λάτρες του ονόματος» δεν προβληματίζονται με αυτές τις αφαιρέσεις καθώς για αυτούς αποτελούν «Ουσίες». Σε αντίθεση με τους σύγχρονους τους Γάλλους ορθολογιστές οι οποίοι δυσπιστούν στις νέες μαθηματικές οντότητες, οι Ρώσοι αμέσως υιοθετούν τη μαθηματική κατεύθυνση και την εξελίσσουν πρωτοποριακά.

Εδώ αξίζει να σημειωθεί πως άλλοι ερευνητές των φιλοσοφικών προκείμενων της Θεωρίας Συνόλων έχουν εντοπίσει σε αυτήν θεολογικές επιρροές από την  Καββάλα. Ο A.Aczel στο «Μυστήριο του ‘Αλεφ» εντοπίζει στην Καββάλα τις απαρχές της συνολοθεωρίας και μια πρώτη διατύπωση του παραδόξου του Ράσελ.

Το 1988 ο A Badiou καταθέτει ,μια καινοφανή ,σχεδόν επαναστατική αναδιατύπωση της θεωρίας συνόλων: Θεωρεί την αξιωματική  εκδοχή της ( Zermelo Fraenkel) ως θεμέλιο της οντολογίας και διατυπώνει μια «πολιτική οντολογία» με βάση τις έννοιες και τα αξιώματα της. Θεμελιακές έννοιες όπως του συνόλου, του «ανήκειν» (belonging) , «συμπεριλαμβάνεσθαι» (including) , του κενού συνόλου κλπ κλπ μεταφέρονται στην πολιτική φιλοσοφία και δημιουργούν ένα εκκεντρικό τυπικό σύστημα πολιτικής διαπραγμάτευσης. Το «Είναι και Συμβάν» δομείται ως τυπικό μαθηματικό οικοδόμημα με αξιώματα ,αποδείξεις και λήμματα. Από τα θεμελιώδη της θεωρίας ο ΑΒ προχωρεί με τυπική αυστηρότητα στα «ανώτερα» της , στο πρόβλημα του συνεχούς όπου διατυπώνει  (κυριολεκτικά αποδεικνύει ) το κύριο θεώρημα του: η τυπικά  στέρεα απόδειξη της ύπαρξης των «γενολογικών συνόλων» δηλαδή των συνόλων για τα οποία δεν υπάρχει τυπική γλώσσα για τον ορισμό των μελών τους, ορίζει τη δυνατότητα του «Συμβάντος». Όθεν το «Συμβάν»  εννοείται ως καινοφάνεια που προκύπτει από ένα κενό της «εγκυκλοπαιδικής γνώσης» , μια «μαύρη τρύπα» και όχι ως θετική σώρευση στοιχείων.
Συνοψίζοντας το Μπαντουικό εγχείρημα είναι:

·        Η Πολιτική είναι οντολογία

·        Η αξιωματική Συνολοθεωρία είναι η πιο συνεπής οντολογία

·        Το Συμβάν τεκμαίρεται, εντός των αυστηρών δεσμεύσεων των αξιωμάτων,  από την τυπική επάρκεια της απόδειξης για τη ύπαρξη των γενολογικών συνόλων (P.Cohen)

Τώρα διαβάζοντας το «Ονοματίζοντας και Άπειρο» προκύπτει ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα:

·        Οι Ρώσοι Μαθηματικοί της « Λατρείας του Ονόματος» εξελίσσουν το μαθηματικό τους έργο εντός μιας «καταφατικής θεολογίας» , μέσω της εκφώνησης μιας θετικής επιτέλεσης, η οποία εννοείται ως μυστηριακή ταύτιση «Ονόματος –Ουσίας».

·        Ο ΑΒ τεκμαίρει το Συμβάν μέσω μιας «αποφατικής θεολογίας» . Τα γενολογικά σύνολα , δηλαδή αυτά για τα οποία δεν υπάρχει καμία τυπική γλώσσα που θα «ονοματίσει» τα στοιχεία τους, αποδεικνύεται ότι υπάρχουν. Η απόδειξη του P Cohen είναι τυπικά ορθή μέχρι σήμερα.

Στο «Ονοματίζοντας το Άπειρο» προσφέρεται ένα άλλο τεκμήριο. Ο A.Grothendiek , ο οποίος αποτελεί βιογραφικό ( ως γόνος αναρχικών) και επιστημονικό υπόδειγμα για τον Badiou  εξελίσσει το έργο του σε μια ματαθηματική κατεύθυνση με μυστικιστικά στοιχεία ( σελ 202)

Η «αποφατική» οντολογία του ΑΒ προκαλεί μεγάλη αμηχανία. Οι μεν μαθηματικοί φιλόσοφοι αρνούνται να δεχθούν μια τέτοια εργαλειακή χρήση αυτών των μαθηματικών αφαιρέσεων, ενώ δεν λείπουν οι μομφές για «τσαρλατανισμό» και «άγνοια». Ταυτόχρονα όμως διακινείται ένας «Μπαντουισμός» ο οποίος αποσιωπά πως το έργο του είναι κατ’ αρχάς μαθηματικό και εξ’ αιτίας  αυτής τυπικής μορφής έγινε αποδεκτό  στον Αγγλοσαξονικό χώρο. Το σύνολο των εννοιών και ταξινομήσεων του ΑΒ (κομμουνισμός, εξεγέρσεις κλπ)  έχουν μαθηματικοφιλοσοφικό υπόβαθρο και δύσκολα αποσπώνται από τα συμφραζόμενα τους (1) Ταυτόχρονα η ερεβώδης φτώχεια , η ανυπαρξία μιας φιλελεύθερης αστικής πολικής επιστήμης αποστρέφεται τον ΑΒ μόνο και μόνο στο άκουσμα του «κομμουνισμού» ενώ προκύπτει ένα ερεθιστικό ερώτημα: Η τυπική αρτιότητα της συνολοθεωρίας όπως αυτή αρθρώνεται στο “Being & Event” δεν οδηγεί ως μονόδρομος στον «ιστορικό κομμουνισμό» αλλά στον «αποφατικό» γενολογικό κομμουνισμό ο οποίος μπορεί να αποτιμηθεί και ως αδυνατότητα. Αντιθέτως το Being & Event  προσφέρει  μια πολιτική εργαλειοθήκη η οποία ανοίγει νέους δρόμους

(1)    Είναι ενδιαφέρον πως ο G.Agamben στην εισαγωγή του Homo Sacer ,κάνει μια τελείως λανθασμένη ανάγνωση των θεμελιακών εννοιών του Being & Event. Μάλιστα θα μπορούσε κάποιος να  ισχυρισθεί ότι από αυτή την παρανόηση προκύπτει και τελικά ο ασφυκτικός προορισμός  του Homo Sacer ως επαναλαμβανόμενο υπεριστορικό μοτίβο.O Agamben συγχέει την θεμελιακή έννοια του «εκφύματος» ( «αναπαράσταση» χωρίς «παρουσία» ) με την «ανώτερη» έννοια του «Συμβάντος»  (το γενολογικό σύνολο των παρουσιών ως υποκείμενο του Συμβάντος) καταδικάζοντας τον Homo Sacer σε μόνιμη καθήλωση. (πηγή)

Info:

A.Badiou : Being & Event,2005 (Continuum)

L.Graham.J Kantor:Ονοματίζοντας το Άπειρο 2013 ( Αλεξάνδρεια)

A.Aczel : Το Μυστήριο του Άλεφ 2006 (Ενάλιος)  

Ροίδη και Λασκαράτου Εμμονές : Ορθόδοξος Μυστικισμός και Μαθηματικά στην ΕΣΣΔ (Πηγή)

6 comments:

Δημήτρης said...

Ενδιαφέροντα και διαχρονικά θέματα όπως Ονόματα, Μαθηματικά, Λογική και Γλώσσα ως Οντολογία, χωρίς (μεταφυσική) προσφυγή στην πραγματικότητα. Όλες οι μέχρι τώρα προτάσεις πάντως (Fregge, Russel & (πρώιμος)Wittgenstein, Quine, Σημασιολογία) μόνον καταχρηστικά μπορούν να χαρακτηρισθούν ως Οντολογία.
Από την άλλη η φιλοσοφική διαμάχη για το αν τα μαθηματικά μπορούν να ερμηνεύσουν τον κόσμο (π.χ.Πλάτων) ή όχι (Αριστοτέλης), επηρεασμένη και από την Φυσική είχε αρκετές εναλλαγές (Νεύτων, Αινστάιν, Bohr).
Πολλοί μαθηματικοί φιλόσοφοι είχαν ως μόνη διέξοδο την υιοθέτηση του Πλατωνισμού. Άλλοι πάλι όπως ο Kripke με ισχυρή επιχειρηματολογία επέστρεψε στην Ουσιοκρατία, ισχυριζόμενος ότι δεν υπάρχει μαθηματικό υποκατάστατο για την φιλοσοφία.

Left Liberal Synthesis said...

Δημήτρη
Όντως από ένα επίπεδο αφαίρεσης και "πάνω" βρισκόμαστε σε μια περιοχή όπου Οντολογία,Μεταφυσική,Θεολογία,Μαθηματικά τέμνονται.
Ερεθιστικά αναπάντητα ερωτήματα..

Anonymous said...

Ευχαριστώ για την παραπομπή στο δικό μου άρθρο ως πηγή του εξαιρετικά ενδιαφέροντος δικού σας.
Λασκ.
(Έδωσα παραπομπή στο δικό σας άρθρο με σχόλιό μου)

Left Liberal Synthesis said...

@Λασκ
Το άρθρο σας , όπως πάντα , ήταν γεμάτο, τεκμήρια.Ηταν αδύνατο να το παραλείψω
Για να μας δει ο Ροίδης δεν εύχομαι ούτε καν μεταφορικά "Καλή Ανάσταση" αλλά κοσμικές "Καλές Γιορτές".....

aftercrisis said...

Πολύ ενδιαφέρον θέμα. Στη βάση του βρίσκεται ίσως η παλιά διαμάχη του φιλοσοφικού ρεαλισμού με τον νομιναλισμό.
Tα "καθ' όλου πράγματα" του Αριστοτέλη, τα universalia, έχουν πραγματική υπόσταση ή είναι απλώς περιγραφικές έννοιες, περιγραφή συνόλου ιδιοτήτων; "Υπάρχει" η "γυναίκα" ή υπάρχει μόνον η συγκεκριμένη Μαρία Α., η Ελένη Β. κοκ; "Υπάρχουν" τα μαθηματικά αντικείμενα" τρίγωνα, "πεντάγωνα, πυραμίδες κτλ ή μόνον συγκεκριμένα υλικά αντικείμενα των οποίων ιδιότητα είναι το σχήμα (π.χ. η πυραμίδα του Χέοπα);
Η διαμάχη αυτή βασανίζει τα μυαλά εδώ και 2500 χρόνια. Μια εκδοχή μετριοπαθούς Αριστοτελικού ρεαλισμού προτείνει τη λύση της μεσότητας: "Universalia in rebus", δηλαδή ότι τα "καθ' όλου" υπάρχουν, αλλά μόνον μέσω των "καθ' έκαστον". Το επιμέρους προσφέρει υπόσταση στο καθολικό, όχι αντίστροφα.
Η γενικευτική έννοια "ατομικό συμφέρον" είναι γενίκευση χωρίς ειδικό, ένα "καθ' όλου" στο οποίο δεν αντιστοιχούν "καθ΄έκαστα". Είναι απλή οφθαλμαπάτη. Δεν υπάρχει κοινή ιδιότητα των "καθ' έκαστον" ατομικών συμφερόντων που να σχηματίζει έγκυρο "καθ΄όλου" (όπως π.χ. υπάρχει στην "Ελένη" και στην "Μαρία" η κοινή γυναικεία ιδιότητα). Δεν υπάρχει έγκυρη αναγωγή ανάμεσα στο ατομικό συμφέρον του Μήτσου, του δικηγόρου manager της χρηματιστηριακής ΑΕ και του Κώστα, του μισθωτού δικηγόρου που δουλεύει με "μπλοκάκι".
Η καταστροφή της Αριστοτελικής λογικής, ήδη την εποχή που εδραιώθηκε ο εργαλειακός Λόγος με την άνοδο των αστών (πρώτος το διατύπωσε αυτό ο Σίλλερ, περισσοτερο από 100 χρόνια πριν τη Σχολή της Φρανκφούρτης), άφησε το πεδίο ελεύθερο σε κάθε είδους ιδιοτέλειες. Η "απομάγευση του κόσμου" (πάλι σιλλεριανός όρος που ανέπτυξε δημιουργικά ο Μάξ Βέμπερ) έδιωξε τη μαγεία για να μπούν από πόρτες και παράθυρα ταχυδακτυλουργοί (της κερδοφορίας), ζογκλέρ (του εικονικού χρήματος) και κομπογιαννίτες επισκευαστές του συστήματος.
Με τον τέτοιο ξεπεσμό του εγχειρήματος "αυτο-λύτρωση του ανθρώπου από τα δεσμά της αναγκαιότητας", προσωπικά δεν φοβάμαι καθόλου να ευχηθώ "Καλή Ανάσταση".
"Μόνον το ριζοσπαστικό είναι ρεαλιστικό"
http://aftercrisisblog.blogspot.gr/2013/04/blog-post_27.html

Left Liberal Synthesis said...

Aftercrisis
Όντως βρισκόμαστε εμπρός σε θεμελιώδη ερωτήματα
Η αναφορά σου στο άρθρο του Jakob Augstein είναι πολύ ενδιαφέρουσα
Θα την αναδημοσιεύσω στο ημέτερο "Αριστερά και Πολιτική Θεολογία"
"Καλή Ανάσταση"......